贾宪三角（1）

    增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出胰欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

    中国古代不仅在制造工具上处于世界领先地位，在数学的许多领域也一路遥遥领先。中国古代数学史也曾有自己光辉灿烂的篇章，贾宪三角的发现就是其中之一。

    对于贾宪三角这个名词，许多人会感到陌生，但提起帕斯卡三角，大家马上会想到二项式定理，想到二项式展开后系数的规律变化，如：

    (a+b)^1=a^1+b^1

    (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

    (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

    ……

    (a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意发现规律）

    如果仅将各项式的系数列出，大家会发现它们挺有规律：

    1   1

    1  2   1

    1  3  3   1

    1  4  6  4  1

    1  5  10 10  5  1

    1  6  15 20  15 6  1

    ……

    除最外边的都是1外，底下一行的各数都是它“上肩”的两数和，从而组成一个有严格次序的等腰三角形。这就是贾宪三角，也称帕斯卡三角。它是1050年北宋数学家贾宪在进行高次开方运算时发现的，而西方直到1623年才由13岁的法国数学家帕斯卡发现。

    贾宪将他的发现写在《黄帝九章算经细草》之中，令人痛惜的是，原书已经散失。所幸的是南宋数学家杨辉继承了他的发现，在《详解九章算法》记载并保存了“贾宪三角”，并将它进一步推广完善，故又称这一发现为杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

    杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系蚀组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。

    同时，这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y ncr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1) [即(a+b)^x中a,b都为1的时候] 。上述y^x 指y的x次方，(a ncr b) 指组合数。

    需要指出的是，“贾宪三角”和“杨辉三角”是有区别的。只需将杨辉三角顺时针旋转45度，便得到贾宪三角，如下：

    1  1  1  1  1  1  1  1

    7  6  5  4  3  2  1

    21 15 10 6 3 1

    35 20 10 4 1

    35 15 5 1

    21 6 1

    7 1

    1

    这些数列，能有效地运用于解数字系数的高次方程。无论是在几何、代数还是三角函数中，上述方法都能不同程度的提高解题效率。

    ##求高次方根和解高次数字方程

    在探求高次方程的数值解法上，中国古代数学家们取得了许多光辉的成就。据说在19世纪20年代时，英国数学家霍纳和一位意大利数学家一直为“霍纳方法”——一种解任意高次方程的巧妙方法的优先发明权而争论不休。可当他们得知中国南宋数学家秦九韶在早570年前就发现了这种方法时，争论戛然而止。在中国数学家面前，他们的争论毫无意义。

    对于解方程，一般人不会陌生，从小学到高中，做数学题时不知解过多少回方程了。可有一点，大家可能没留意，初中也好，高中也罢，我们解的方程的最高项次数通常不高于2次，即便有3次或4次的方程，也是一些容易分解因式，得出解的方程。对于一元三次方程或更高次的方程，只要不是特别容易分解因式的，大家很可能就束手无策了。不信你可以试着解下面的方程：</p>

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