贾宪三角（2）

    x3+px+q=0

    你能得出这个简单的一元三次方程的通解吗？如果你事先不知晓三次方程的解法，你肯定会抓破头皮。至于更高次的方程，其解法就更难了。而且5次或之上的高次方程没有通解，它于1824年，由年仅22岁的挪威数学家阿贝尔首次发现并获得证明。

    人们很早就在研究高次方程的解法的问题。早在公元前2000年前的古巴比伦泥板中，就载有平方表和立方表，如不严格定义方程，它们也可看作是最简易的二次方程和三次方程。

    在探求高次方程的数值解法上，中国古代数学家们取得了许多光辉的成就。据说在19世纪20年代时，英国数学家霍纳和一位意大利数学家一直为“霍纳方法”——一种解任意高次方程的巧妙方法的优先发明权而争论不休。可当他们得知中国南宋数学家秦九韶早在570年前就发现了这种方法时，争论戛然而止。在中国数学家面前，他们的争论毫无意义。

    早在公元一世纪时，中国古代数学名著《九章算术》就记载了用算筹的方法，给出求二次方程和正系数三次方程根的具体计算程序。在随后的《周髀算经》和赵爽注，以及《九章算术》和刘徽注中，已经有完整的开平方法和开立方法，并得出了一元二次方程的一般解法及求根公式，相当于今天的韦达定理。不过，中国古代把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。

    求三次方程的正根的方法到了公元7世纪时，也被初唐数学家王孝通解决。他在《缉古算经》中详细介绍了求三次方程正根数值的解法。

    宋元两代，古代中国数学达到了一个新的水平。11世纪初，北宋数学家贾宪《黄帝九章算法细草》中提出了“开方作法本源图”（即贾宪三角）和增乘开方法，用来求三次或三次以上的高次方程式的近似根。

    到了13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中提出出了“正负开方术”，介绍了一个用算筹布列解任何的数字方程的数值解法。用此方法可以求出任意次代数方程的正根。这在高次方程数值解法问题上做出了具有世界意义的重大贡献。西方直到19世纪初才发明这一解法。

    金、元之际数学家李冶在研究列一元方程式的方法时，创立了“天元术”。到了元代，数学家朱世杰又把这种方法推广到多元高次方程组，创立了“四元术”。

    “四元术”是中国数学中关于方程解法的最高峰。朱世杰在《四元玉鉴》一书除了总结宋、元数学中的四元术（即我们现在所说四元高次方程组）及消元解法之外，还对高阶等差级数的求和问题和高阶内插法进行了深入的分析研究。而西方对这些问题的研究都是在文艺复兴之后。这些具有超越时代性的数学成就，使朱世杰成为那个时代当之无愧的最伟大的数学家。

    令人遗憾的是，和其他许多学科一样，尽管中国在方程的解法上取得一次又一次举世瞩目的成就，但由于缺乏相应的逻辑体系，只局限于解决实际问题，始终未能建立起方程理论。尤其令人不解的是，尽管我国负数的发现和应用是最早的，可是解方程却一直局限于求正根、对负数从未考虑。

    自元代朱世杰之后，到了明代，中国传统数学由于在符号化和形式化的方面进展缓慢，整体研究水平开始落后于欧洲。欧洲人后来居上，陆续得出高次方程的普通解法，将中国拉在了身后。</p>

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