圆周率π的精确值

    历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

    ——德国数学史家康托

    在古代，圆一直被认为是世界上最简单最完美的形状，以至直到发现开普勒第一定律之前，人们普遍认为行星以及所有天体的运行轨迹是标准圆周，尽管有些科学家也推算出行星的运行轨道与标准圆周不相符，固有的思维定势也要将他们的计算往标准圆周上引。这足以见证古人对圆的偏爱。

    圆形是如此完美，如此地招人喜爱，可是要准确计算它的周长和面积却是一件烦恼的事。不过细心的人们很早就发现，无论圆的面积怎样变化，它的周长和直径的比总是保持不变，这个不变的比率就是困惑人们几千年的圆周率。从有文字记载开始，作为一个非常重要的常数，圆周率的精确值一直是许多学者既感兴趣又迫切想要解决的问题，毕竟它在生产生活中的用途太大了。为了求圆周率的精确值，几千年来，古今中外的数学家们为此耗费了大量的心血。而对π 的研究，也在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。正如德国数学史家康托所说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。

    在求圆周率的精确值上，中国在相当长的时间内一直遥遥领先，这也从一个侧面反映古代中国的数学在很多方面处于世界领先水平。

    早在公元前1世纪的一部数学著作《周髀算经》里，就有“周三径一”的记载，这其实就是把圆周率当作3。我国古代木工师傅曾流传这样一句口诀：“周三径一，方五斜七”，其意说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。到了东汉时，官方明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人一般将圆周率为3称为“古率”。

    在中国应用“古率”之前，古埃及、古希腊已得到了较精确的圆周率，如古埃及取π=4 (8/9)2 = 3.1605；而早在公元前6世纪印度就曾取 π= √10 = 3.162。

    求圆周率的更精确近似值的方法最早是阿基米德提出的，他首先用几何方法证明“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”。随后在公元150年左右，托勒密求得π ＝3.1416。此后，直到1427年外国数学家对圆周率的研究再也没有超过小数点后4位数。

    在这一阶段，中国落后了。中国直到公元263年前后，才由刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.1416，即“徽率”。不过他的割圆术虽然比阿基米德提出的晚，但其方法要简洁得多，据说他从圆的正192边形开始，一直推算到内接正3072边形才得出这一精确值。

    刘徽的割圆术打开了精确求圆周率的方便之门。到了公元5世纪，我国古代著名的数学巨星祖冲之对圆周率的值作出了杰出的贡献，他求得圆周率

    3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927

    为了便于记忆，他还给出得到 π 的两个近似分蚀：约率为22／7；密率为355／113。

    祖冲之算出了π 的8位可靠数字，这使中国在求圆周率的精确值上一跃居于世界之首，且保持世界记录达九百多年。以致有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

    现在数学家们普遍认为祖冲之也是采用刘徽的割圆术推算圆周率的。如果真是如此，祖冲之需要经过11次倍边过程，求得圆内接正12288边形和24576边形的面慌能得出，其工作量，就是现代计算机计算也是一件较繁重的工作，可想他的艰辛了。

    祖冲之是否还使用了其他的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数 学发展史上是一件极令人痛惜的事。

    祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……</p>

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