假设外星人使用的木棍或骨头的长度为 r 。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为 o ，骨头一端与圆的交点为 p （见图 f14.1 ）。在圆上取一点 q ，使 pq ＝ l ，角 opq 的角度为 a 。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为 2a/2 π （如果用角的度数来表示的话，则为 2 a /360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上， 另一端可以旋转 360度或2πx弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为 2a 时，骨头的另一端留在圆内。

    f14.1 扔骨头难题的答案

    接下来，要确定 a的数值。有了三角形 opq ，我们就可以利用余弦定律和图 f14.1中的变量来计算角a的角度：

    r 2 =l 2 +r 2 -2rlcos （ a ）

    在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。）

    在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此， l ＝ r ，角 opq 为等边三角形， op=pq=r 。利用余弦定律，我们可以计算出 cos （ a ）＝ 1/2 ， a ＝ π /3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。

    当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出 opq 是个等边三角形，你就知道 a ＝ 60 ° ，或者， a ＝π /3x半径。

    假如骨头的长度 l ＝ 2r ，经过计算， cos （ a ）＝ 1 ， a ＝ 0 。由此可见，假如骨头是一根长度为 2r 的线段（ 2r 为圆的直径），让骨头的一端刚好落在圆上，且另一端落在圆内的概率为 0 。假如骨头的长度为 r/2 ，那么， cos （ a ）＝ 1/4 ，概率为（ 1/4 ）的反余弦除以 π，等于 0.4196。注意，较短的骨头的另一端落在圆内的概率要大于长度为r的骨头。

    余弦定律十分神奇，可以应用于多种实际情况。在涉及到向量的众多物理问题中，都可以运用余弦定律，比如，计算掠射碰撞中代表不同物体的两个矢量之差（见图 f14.2）。

    这里还有另一个实例，可以帮助我们理解余弦定律是如何有效地解决问题的。假设，多萝茜要从现在所站的地方到奥兹博士的测试机构去，她必须骑上自行车，先向正东骑行 10公里，再向东北方向（北偏东45 ° ）骑行 5公里（如图f14.3所示）。外星人想研究一下，它们是否应该铺一条黄砖路，从多萝茜所在的地方直接通到奥兹博士的测试机构。这条路建成后，多萝茜可以少走多少路？

    f14.2 余弦定律适用于矢量：

    要解答这个问题，我们可以先画出多萝茜目前的行走路线。由于我们知道 a ， b 两边的值，也知道这两边的夹角的度数，就可以利用余弦定律来计算黄砖路的长度：

    c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2abcos （θ）

    ＝（ 10 ㎞） 2 ＋（ 5 ㎞） 2 － 2 （ 10 ㎞）（ 5 ㎞） cos （ 135 ）

    ＝ 100km 2 ＋ 25km 2 － 100 （－ 0.707 ） km 2

    ＝ 125km 2 ＋ 70.71km 2

    ＝ 195.71km 2

    求 195.71 平方公里的平方根，我们就可以得到大致的答案， c ＝ 14 公里。由于原来的道路厂 15 公里，那么多萝茜走新路可以少走 1 公里。

    f14.3 余弦定律的应用（图中文字：待建的新路）</p>

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