为了方便排版，我们把靶子画成了一个长方形。

    射击结果分别用 j （命中靶心）、 k （勉强射中）和 l （失误）来表示。靶子上有 6 横 6 纵共 36 个格子，其位置是连续区域，两次任意射击所击中的位置距靶心的距离不可能相等。多萝茜开了 3 枪，一枪命中靶心，一枪勉强射中，第三枪失误。这三枪可以产生以下 6 种不同结果。

    射击结果

    比如，可能是第一枪命中靶心，第二枪勉强射中，第三枪失误。上表第 1 列描述的就是这种情况。但情况也可能是这样的：第一枪命中靶心，第三枪勉强射中，第二枪失误，见上表第 2 列。

    但是，有两条信息限制着可能出现的打靶结果。第一枪没有失误，因为文中写道：“糟糕，她的第二枪距离靶心比第一枪还远。”此外，我们还知道，多萝茜第二枪也没有命中靶心。这说明，我们可以将上表中第 3 、第 5 和第 6 列都删掉。比如，在第 3 列里，第二枪命中靶心，但我们已经知道这是不可能的。现在只剩下第 1 、第 2 和第 4 种情况了，看来三者的出现机会均等。

    多萝茜的任务是判断自己的最后一枪比第一枪偏离靶心更远的概率是多少。让我们看一看上表第 1 、第 2 和第 4 列。其中，第 1 列和第 2 列中的第三枪打得比第一枪更糟。由此可知，多萝茜的最后一枪比第一枪偏离靶心更远的概率是 2/3 。如果你喜欢打赌的话，这一把你算是赢定了。

    我们可以把这个问题推而广之。假设，每一枪都打在不同的地方，且分布均匀，因为奥兹博士说过：“假设你的射击水平保持不变。”此外，假设两枪所射中的位置与靶心的距离相等的概率为零。假设，奥兹博士对着靶子一共打了 n 枪， n ＞ 2 。我的同事戴维·卡尔指出，我们可以得到 n （ n-1 ）种结果，分别都包含了第一枪和最后一枪的名次（从命中靶心、勉强射中、到失误）。第一枪的名次可以有 n 种结果，最后一枪的名次可以有（ n-1 ）种结果。在这道题中， n=3 ，可能出现 6 种结果，分别对应上表中的 6 列。每一种结果都有同等的出现机会。假设，在除第一枪和最后一枪之外的（ n-2 ）枪中，好于第一枪的枪数为 m ，（ n-m-2 ）不如第一枪。这样一来，上面提到的几种情况也就被删除了，于是我们得到如下结果：

    ·  第一枪的名次为 m+1 ；最后一枪的名次位于不如（ m+1 ）的（ n-m-1 ）中（即， n-m-1 种可能性）；

    ·  第一枪的名次为 m+2 ；最后一枪的名次位于好于（ m+2 ）的（ m+1 ）中（即， m+1 种可能性）。

    总共有 n 种可能性，因此，第二种情况的概率为（ m+1 ） /n 。由此可见，总的说来，我们可以得到一个“卡尔公式”。假设好于第一枪的枪数为 m ，通过这个公式可以计算出最后一枪优于第一枪的概率：

    （ m+1 ） / n

    在第一题中， m=0 ， n=3 ，最后一枪好于第一枪的概率为 1/3 。如果多萝茜打了 2001 枪，其中 285 枪的成绩好于第一枪，她的第 2002 枪的成绩如何？ n=2002 ， m=285 ，最后一枪好于第一枪的概率为 286/2002=1/7 。如果多萝茜打了 2002 枪，其中只有 1 枪的成绩好于第一枪， n=2002 ， m=1 ，她的最后一枪好于第一枪的概率为 2/2002 。最后一枪的成绩好于第一枪的几率是否因为射击次数的增加而下降呢？</p>

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